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第二十三章 闭关孤行双射映射的奠基（第1页）

2037年春夏之交，全球数学界，与北京大学静园那间紧闭的研究室。

2037年的国际数学界，正被一股源自法国、由年轻菲尔兹奖得主艾琳娜·卡特点燃的“分形几何热”席卷。她的突破性工作——“切口条件”与“分形鼓”理论，为理解复杂几何结构上的谱分析与波动现象开辟了新天地。《数学发明》、《数学年刊》等顶尖期刊上，相关论文如雨后春笋；从柏林的国际数学家大会卫星会议，到剑桥的专题研讨会，学者们言必称“自相似性”、“豪斯多夫维数”、“分形测度”。这波热潮，如同在数学的星图上，骤然点亮了一片璀璨而充满奇异吸引力的新星域，吸引了无数探索者的目光。

然而，在地球的另一端，在北京大学静园那栋灰白色数学大楼的西层，一扇常年贴着“谢绝打扰”纸条的研究室木门背后，却是另一番截然不同的、近乎与世隔绝的“气候”。

这里，没有分形几何的奇崛绚烂，没有学术会议的喧嚣热议。有的，只是一种近乎真空的寂静，以及在这寂静中，如同地下熔岩般缓慢、坚定、持续奔涌的极度专注。窗外的世界，玉兰花开又谢，香椿树从嫩绿到浓荫，夏日的蝉鸣由弱渐强，但对于研究室的主人洛清雪而言，季节的轮转、学界的潮汐，都被那扇厚重的木门和心中的“清雪猜想”彻底隔绝。

她的世界，在过去几个月中，缩小、凝聚到了两个核心的、彼此镜像的数学映射上，以及它们之间那条必须用最严苛逻辑锻造的、牢不可破的等价链条。外界艾琳娜掀起的“分形热”再汹涌，也未能动摇她分毫。她知道，自己正走在一条截然不同、同样幽深、且同样需要耗尽全副心力的道路上——那条连接纳维-斯托克斯湍流与纤维丛几何的、尚无人确证的隐秘通道。

第一个映射：正向映射Π（从流体到几何）

这是将具体的、可分析的物理对象（速度场u和压力场p，满足NS方程），“翻译”或“编码”成抽象的几何对象（主纤维丛P及其上联络A与曲率F）的桥梁。定义这个映射，绝非简单的“对应声明”，而是需要像雕琢一件精密、脆弱而又必须承受巨力的艺术品一样，每一步构造都必须逻辑严密、定义清晰、性质良好，经得起最挑剔的审查。

洛清雪花了整整一个多月，几乎将全部精力倾注在Π的严格构建上。

研究室的巨大白板被分成了几个区域。最左侧，是原始的、不可压缩okes方程及其初边值条件。右侧，则是她构建的几何舞台：时空流形M，结构群为SA?（3）的主纤维丛P（M，G）。

她需要定义Π:（u，p）?（P，A，F）。

第一步：从速度场u到主丛P的局部平凡化与移动标架。她利用流体力学中经典的Cartan移动标架法思想。给定一个光滑的速度场u（t，x），在时空的每一点，可以自然地联系一个仿射标架（由该点的位置和由u确定的“无穷小位移”方向构成）。这些标架的全体，按照SA?（3）群的作用（保持体积和定向的仿射变换）进行粘合，自然诱导出一个以M为底、以SA?（3）为结构群的主纤维丛P。这个构造的关键在于证明，对于光滑的u，这个诱导过程是良好定义的，并且产生的丛P是光滑的。她在草稿纸上进行了大量局部坐标计算，验证了变换函数的光滑性与群作用相容性，确保P的微分结构由u的光滑性所保证。

第二步：从速度场u和压力p到联络A。这是最核心、也最需要精巧设计的一步。联络A是P上的一个李代数值1-形式。她需要将u和p的信息“装入”A中。她回忆起流体力学中的涡度-速度势关系，以及更现代的欧拉-达布方程几何表述。经过反复尝试和淘汰，她采用了一种结合了速度梯度（编码变形和旋转）和与压力相关的标量势的构造。具体地，她将A分解为两部分：一部分首接与速度场的“平移”部分（通过移动标架）相关，另一部分则与由压力梯度（通过伯努利型项）和粘性项所贡献的“内部旋转伸缩”相关。她必须精心选择A的分量定义，使得：

不可压缩条件?·u=0自动导致A满足某种无迹性（traceless）条件，这源于结构群SA?（3）的李代数性质。

速度的平流项（u·?）u能够从联络的协变导数?_Au（这里u己被提升为丛上的某个截面的导数）中自然地产生。这需要A的定义与移动标架的演化方程（Cartan结构方程）完美耦合。