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第40章 汗流浹背的赵教授（第1页）

齐物目光如电，扫视全场，从容不迫：

“常规的解法，无论是集中紧致性还是移动平面法，本质上都在平坦的欧几里得空间r^n里，用各种不等式去硬生生地【挤压】这个方程，这种方法太过蠢笨、丑陋。”

赵昌来和李德明都是眉头微皱，齐物的语气中充满了对常规解法的鄙夷啊。

问题是，这俩教授也只知道常规解法……

“分数阶算子之所以难处理，是因为你们的视野太低了！”

齐物道，“我早就说过，你们是三维世界的井底之蛙，还不服气？”

他在平板上画下了一个完美的超球面投影图。

“既然在欧氏空间r^n里，他是非局部的、棘手的，那我就通过球极面投影，把整个r^n空间，连同它的无穷远点，直接捲起来！

能听明白吗？

捲起来！

映射到高维的单位球面s^n上！”

眾人心中涌起一股异样，怎么感觉齐物在讲公开课呢？

“令投影变换为p：s^n{n}→r^n，定义保角乘子为w（x）=（2（1+ixi2））^（n-2s）2。

到这里，能看懂吧。

所以在共形变换下，欧氏空间里那个让人绝望的分数阶拉普拉斯算子（-?）^s在球面上会发生什么？”

齐物抬头，看向懵逼的眾人。

“啊，我们要回答吗？”

“你会吗？”

“我不会。”

“有一种在听老师讲课的感觉。”

齐物看了赵昌来七八秒，也没有等来赵教授的抢答，他只能继续书写：

（-?）^s（w（x））v（p^-1（x）））=w（x）^（n+2s）（n-2s）psv（ξ）

“看得懂吗？变成了一个完美交织的共形分数阶拉普拉斯算子ps！

在球面s^n上，这个非局部方程，可以同构为一个求解球面共形不变量的纯代数几何问题！

从而，原方程等价於在球面上求解psv=v^（n+2s）（n-2s）。

因为球面具有完美的so（n+1）旋转对称性，所以很明显，所有的正解必为常数。

把常数解逆变换回r^n空间。

即可得出通解公式：

u（x）=c（λ（λ2+ix-x0i2））^（n-2s）2

其中，λamp;gt;0是缩放因子，x0∈r^n是平移向量。