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第44章 传奇第6题（第3页）

徐辰此时已进入专注思考状態。

【常规方法走不通，说明这道题的本质，必然隱藏在一个极深的、非常规的数学结构之下。】

【（a2+b2）（ab+1）=k，其中k为正整数。】

【a2-（kb）a+（b2-k）=0。】

【这是一个关於a的二次方程。如果（a，b）是一组解，那么根据韦达定理，必然存在另一个解a=kb-a。】

【这个思路，就是韦达跳跃的核心。但问题是，如何证明k必须是完全平方数？】

他的大脑，在这一刻，以一种超越极限的速度运转起来。

无数的数学定理、公理、性质，在他脑海中如同星辰般闪烁、碰撞、重组。

突然，一个极其冷门、甚至在他庞大的知识库中都只占据了一个微不足道角落的定理，如同流星般，划破了所有的迷雾。

【费马的无穷递降法！】

【不，不对，是它的一个变种——在丟番图方程解集结构中的应用！】

一个大胆到近乎疯狂的念头，在他心中升起。

【如果，我能证明，对於任意一个非平方数的k，这个方程的解集，可以通过韦达跳跃，构造出一个无限递降的正整数序列……】

【而正整数序列，是不可能无限递降的！这就导出了矛盾！】

找到了！

那条通往终点的、唯一的光！

徐辰猛地睁开眼，眼神中爆发出前所未有的璀璨光芒。

他拿起笔，没有再进行任何试探性的计算。

他的笔尖，在答题纸上，写下了一行如同诗歌般凝练的文字。

【解：设（a2+b2）（ab+1）=k。不妨设k不是一个完全平方数。】

【在所有满足该方程的正整数解（a，b）中，取a+b最小的一组解，且a≥b。】

【考虑关於x的二次方程x2-（kb）x+（b2-k）=0。】

【显然，a是该方程的一个正整数根。设另一根为a。】

【由韦达定理，a+a=kb，a*a=b2-k。】

【易证a是一个整数，且a=（b2-k）a＜b。若a＞0，则（a，b）是方程另一组正整数解，且a+b＜a+b，与a+b的最小性矛盾。】

【若a=0，则b2=k，与k不是完全平方数矛盾。】

【若a＜0……】

一步，两步，三步……

逻辑的链条，环环相扣，无懈可击。

他没有用任何复杂的运算，仅仅利用了反证法、最小数原理和韦达定理这三个最基础的数学工具，便將整个问题，引入了一个必然会產生矛盾的逻辑闭环！

最终，他写下了结论。

【……综上，假设不成立。故k必为一个完全平方数。】

【证毕。】

当最后一个句號落下时，距离考试结束，还有十分钟。

他放下笔，长长地舒了一口气，靠在了椅背上。

【內心os：搞定，收工。】