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第45章 新的副本（第4页）

【利用恆等式4n=1（（n+1）4）+1（n（n+1）4）。】

【因为n=4k+3，所以n+1=4k+4=4（k+1）。】

【（n+1）4=k+1，是整数！所以1（（n+1）4）是一个单位分数！】

【令x=（n+1）4。】

【现在，只需要將1（n（n+1）4）分解成两个单位分数之和。】

【1a=1（a+1）+1（a（a+1））。这是一个经典的分解！】

【所以，x=（n+1）4，y=n（n+1）4+1，z=（n（n+1）4）*（n（n+1）4+1）。】

【搞定！第三种情况，解决！】

只剩下最后，也是最难的一种情况：n=4k+1。

他用同样的方法，將问题转化，但发现，无论如何，都无法避免地会出现更复杂的分数形式。

【我到底忽略了什么……】

他看著窗外城市的点点灯火，大脑放空。

突然，他想起了自己最初的验算。

n=5:45=12+14+120。

【这里的x，y，z之间，有什么关係？】

【如果，我能找到一个关於n的线性同余方程组，它的解，恰好能导出x，y，z呢？】

【中国剩余定理！】

一个古老而又强大的东方智慧，如同启明星，照亮了最后的黑暗！

他猛地冲回桌前，心臟狂跳。

他不再试图去“构造”一个通用的公式，而是去“证明”一个解的存在性！

【对於n=4k+1的情况，我们可以找到一个整数t，使得t*n+1是一个4的倍数，甚至是某个数的倍数……】

【不，思路更直接一点！我们可以找到两个整数a，b，使得an+1=4b。】

【根据裴蜀定理，只要gcd（n，4）=gcd（4k+1，4）=1，这样的a，b就必然存在！】

【利用扩展欧几里得算法，可以找到这样一组a，b。】

【然后，4n=4a（an）=4a（4b-1）……这条路似乎更复杂了。】

他再次陷入沉思，但这一次，他感觉自己离真相只有一步之遥。

【回归方程本身：4xyz=n（xy+yz+zx）。】

【如果我能找到一个特殊的x，让这个方程简化呢？】

【设x=k*n。代入后……不行。】

【设x=（n+a）4。】

一个大胆的设想，在他脑中形成。

经过一番极其复杂的代数推演，利用模运算和二次剩余的性质，他最终將问题，锁定在了一个特定的同余方程上！

【……最终，可以证明，对於所有素数n≡1（mod4），总能找到满足条件的解。而对於合数，可以通过其素因子分解来构造解。】

当最后一个句號落下时，他长长地舒了一口气，一股难以言喻的、酣畅淋漓的快感，从心底涌起，传遍四肢百骸。

这种攻克未知猜想的喜悦，远比在考场上拿到满分，要来得更加纯粹，更加强烈！

他揉了揉有些酸涩的眼睛，下意识地看了一眼窗外。

窗外的天色，已经由漆黑，转为了鱼肚白，初升的朝阳，正將第一缕金色的光辉，洒向这座异国的城市。

天，已经亮了。