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第45章 新的副本（第3页）

n=3:43=11+16+16。有解。

n=4:44=1。12+13+16。有解。

n=5:45=12+14+120。有解。

【看起来，解总是存在的。那么，证明的关键，在於构造。】

他没有急於下结论，而是开始思考问题的核心。

【4n=1x+1y+1z。这个方程的自由度太高了，三个未知数。必须想办法减少变量，或者找到它们之间的约束关係。】

【思路的核心，应该是根据n的性质，来构造出对应的x，y，z。】

突然，一道灵光闪过！

【是n的同余性质！特別是模4的余数！】

一个在解决丟番图方程时，屡试不爽的强大武器，浮现在他的脑海中。

【任何整数n，根据模4的余数，都可以被分为四类：4k，4k+1，4k+2，4k+3。】

【如果我能为每一类n，都找到一个通用的构造公式，那么问题不就解决了吗？！】

徐辰的精神为之一振，睡意全无。他感觉自己像一个工程师，不再是盲目地寻找一个特定的零件，而是开始设计一套能生產所有零件的“模具”！

【第一种情况：n=4k。】

【4n=4（4k）=1k。】

【1k=1（2k）+1（3k）+1（6k）。】

【所以，x=2k，y=3k，z=6k。搞定！这一类最简单。】

【第二种情况：n=4k+2=2（2k+1）。】

【4n=4（2（2k+1））=2（2k+1）。】

【2（2k+1）=1（2k+1）+1（2k+1）。还差一个……】

【1（2k+1）=1（2k+2）+1（（2k+1）（2k+2））。】

【所以，4n=1（2k+1）+1（2k+2）+1（（2k+1）（2k+2））。】

【令x=2k+1，y=2k+2，z=（2k+1）（2k+2）。搞定！】

逻辑的链条，开始一环扣一环地被构建起来。前两种情况，他只用了不到半个小时，就轻鬆解决。

但当他开始处理第三种情况时，瓶颈出现了。

【第三种情况：n=4k+3。】

他尝试了各种恆等变换，试图构造出通用的解，但每一次，构造出的分母中，都不可避免地会出现k，导致解的普適性被破坏。

【这条路，走不通。或者说，简单的恆等变换，在这里失效了。】

他感到了焦灼。就像攀岩者，已经爬到了半山腰，却发现眼前是一片光滑的、找不到任何著力点的绝壁。

他放下笔，在房间里来回踱步，强迫自己跳出之前的思维定式。

【如果，从另一个角度看呢？】

【4n=（4（k+1））（n（k+1））=（4k+4）（n（k+1））=（n+1）（n（k+1））。】

【4n=1（k+1）+1（n（k+1））。】

【这个恆等式，是解决问题的关键！由mordell在1969年提出！】

一个在数论歷史中闪耀的名字，浮现在他的脑海中！

【我一直在试图自己重新发明轮子！其实前人已经铺好了路！】

思路，瞬间豁然开朗！

他重新坐回桌前，眼神中爆发出前所未有的光芒。

他不再纠结於自己构造，而是直接站在了巨人的肩膀上！

【对於n=4k+3的情况：】